%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.24. French}

\textbf{Proposition 1.24.}
Soit un diagramme commutatif
\[
\begin{CD}
X @>j>> \bar{X} \\
@V f VV @VV \bar{f} V \\
D @= D
\end{CD}
\]
dans lequel

%\page*{- 60 -}

\begin{enumerate}
\item[(i)] $D$ est le disque unité,
\item[(ii)] $f$ est lisse purement de dimension relative un,
\item[(iii)] $j$ est une immersion ouverte et $T = \bar{X} - X$ est un sous-espace analytique quasi-fin sur $D$.
\end{enumerate}

Soit $V$ un fibré vectoriel sur $X$, prolongé en un faisceau analytique cohérent sur $\bar{X}$, et muni d'une connexion relative sur $X$. Pour tout $\lambda$, la restriction de $V$ à $f^{-1}(\lambda)$ est munie d'une structure méromorphe (1.14) en les points de l'image réciproque de $T$ dans la surface de Riemann normalisée de $f^{-1}(\lambda)$. Si, pour $\lambda \neq 0$, $V|_{f^{-1}(\lambda)}$ est régulier en ces points, alors $V|_{f^{-1}(0)}$ a la propriété analogue.

%----------------- TRANSLATION -----------------
\newpage 

\subsection*{1.24. English}

\textbf{Proposition 1.24.}
Consider a commutative diagram
\[
\begin{CD}
X @>j>> \bar{X} \\
@V f VV @VV \bar{f} V \\
D @= D
\end{CD}
\]
where

\begin{enumerate}
\item[(i)] \( D \) is the unit disc,
\item[(ii)] \( f \) is smooth of pure relative dimension one,
\item[(iii)] \( j \) is an open immersion and \( T = \bar{X} \setminus X \) is an analytic subspace quasi-finite over \( D \).
\end{enumerate}

Let \( V \) be a vector bundle on \( X \), extended to a coherent analytic sheaf on \( \bar{X} \), and equipped with a relative connection on \( X \). 

For every \( \lambda \in D \), the restriction of \( V \) to \( f^{-1}(\lambda) \) carries a meromorphic structure (1.14) at the points lying over \( T \) in the normalized Riemann surface of \( f^{-1}(\lambda) \). 

If, for all \( \lambda \neq 0 \), the restriction \( V _{f^{-1}(\lambda)} \) is regular at these points, then \( V _{f^{-1}(0)} \) enjoys the analogous property.


%----------------- EXPLAIN -----------------

% 解释命题 1.24 中 T is quasi finite over D 的含义

% \section*{命题 1.24 中 $T$ is quasi finite over $D$ 的含义}

% 在命题 1.24 中，条件 (iii) 提到 $T = \bar{X} - X$ 是一个在 $D$ 上\textbf{拟有限}（quasi-finite）的解析子空间。我们来逐步解释这个概念的含义：

% \subsection*{1. 背景与术语解释}
% \begin{itemize}
% \item $D$ 是单位圆盘（unit disc），即一维复流形。
% \item $X \hookrightarrow \bar{X}$ 是一个开浸入（open immersion），且 $T = \bar{X} - X$ 是其闭补集。
% \item $T$ 是 $\bar{X}$ 中的一个\textbf{解析子空间}（analytic subspace），它由一些点或更低维的结构组成。
% \item ``$T$ 在 $D$ 上拟有限'' 是对映射 $T \to D$ 的性质描述。
% \end{itemize}

% \subsection*{2. ``Quasi-finite'' 的含义}
% 在代数几何和复解析几何中，``quasi-finite'' 是一个映射的局部性质：

% 一个态射 $f: Y \to S$ 称为 \textbf{quasi-finite}，如果对 $S$ 中的每一点 $s$，纤维 $f^{-1}(s)$ 是一个\textbf{有限集合}，并且在每一点 $y \in f^{-1}(s)$ 上，局部环的扩张 $\mathcal{O}_{S,s} \to \mathcal{O}_{Y,y}$ 是\textbf{有限型的}。

% \begin{itemize}
% \item $T \to D$ 是一个从解析空间 $T$ 到单位圆盘 $D$ 的映射。
% \item ``$T$ 在 $D$ 上拟有限'' 意味着：
% \begin{itemize}
% \item 对每个 $\lambda \in D$，纤维 $T_\lambda = T \cap f^{-1}(\lambda)$ 是\textbf{有限个点}（即 $T$ 在每根纤维上只包含有限多个点）。
% \item 并且在这些点处，$T$ 相对于 $D$ 的结构是``良好''的（局部有限生成）。
% \end{itemize}
% \end{itemize}

% \subsection*{3. 为何这个条件重要？}
% 在命题 1.24 中，这个条件用于控制\textbf{奇点集合} $T$ 的``大小''和``行为''：
% \begin{itemize}
% \item 它确保了在每根纤维 $f^{-1}(\lambda)$ 中，奇点集合 $T_\lambda$ 是有限的，从而可以分析其\textbf{局部单值性}或\textbf{正则性}。
% \item 拟有限性在研究\textbf{相对情形下的正则奇点}（regular singularities）时非常关键，因为它排除了奇点``成簇''或``连续变化''的复杂情况。
% \end{itemize}

% \subsection*{4. 例子与直观理解}
% 试想：
% \begin{itemize}
% \item $D = \mathbb{D}$ 是单位圆盘。
% \item $\bar{X} = \mathbb{D} \times \mathbb{P}^1$，即圆盘上的一族黎曼球面。
% \item $X = \bar{X} \setminus T$，其中 $T$ 是一些横截于纤维的点（如 $(t, a(t))$，其中 $a(t)$ 是解析函数）。
% \end{itemize}

% 此时：
% \begin{itemize}
% \item 每根纤维 $\bar{X}_\lambda = \{ \lambda \} \times \mathbb{P}^1$，
% \item $T_\lambda$ 是单个点（或有限多个点），
% \item 因此 $T \to D$ 是 quasi-finite。
% \end{itemize}

% 这种设置常用于研究\textbf{参数化的微分方程族}，其中奇点随参数变化但保持``有限且可控''。

% \subsection*{总结}
% ``$T$ 在 $D$ 上拟有限'' 意味着奇点集合 $T$ 在每根纤维上的交集是有限的，并且其结构在 $D$ 上是局部有限生成的。这是为了确保奇点行为良好，从而可以研究其正则性等性质。

%----------------- EXAMPLE -----------------

\subsubsection*{0. Bessel方程作为命题 1.24 的例子}

实际例子：含参弹簧-质量系统的无量纲化径向振动方程

考虑一个径向对称的弹性膜（如鼓面）在不同张力下的小振动。经分离变量和无量纲化后，其径向部分满足如下方程（以 \( x \) 为径向坐标）：

\[ x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + \bigl(\lambda x^2 - \nu^2\bigr) w = 0. \]

其中：
\( x \in (0, R] \) 是径向坐标（\( x=0 \) 为中心），
\( y(x) \) 是振型函数（位移幅值），
\( \nu \geq 0 \) 是角向模数（整数，由边界条件决定，固定），
\( \lambda > 0 \) 是无量纲频率参数（与张力、密度、频率相关），作为可变参数。


\subsubsection*{1. 几何设置}
在命题1.24的框架下，我们可以这样构建几何对象：

\begin{itemize}
\item $D_\lambda = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| < \epsilon \}$ 是以原点为中心的小圆盘，参数 $\lambda$ 在此取值。

\item $D^*_\lambda = \{ \lambda \in \mathbb{C} : 0 < |\lambda| < \epsilon \}$ 是去掉原点的小圆盘。

\item $\bar{X} = \mathbb{P}^1_z\times D_\lambda$，即参数圆盘 $D_\lambda$ 上的黎曼球面 $\mathbb{P}^1_z$ 的平凡纤维丛。

\item $X = (\mathbb{P}^1-\{0,\infty\}) \times D_\lambda$，即从 $\bar{X}$ 中去掉 $\{0,\infty\}\times D_\lambda$.

\item $f: X \to D_\lambda$ 是投影映射 $f(z, \lambda) = \lambda$，其中 $z \in \mathbb{P}^1, \lambda \in D$. 

\item $T = \{0,\infty\}\times D_\lambda$ 是解析子空间，表示Bessel方程的奇点位置。

\end{itemize}

\subsubsection*{2. 验证命题条件}
\begin{enumerate}
\item[(i)] $D$ 是圆盘，满足条件。
\item[(ii)] $f$ 是光滑的且纤维维度为1，满足条件。
\item[(iii)] $j: X \hookrightarrow \bar{X}$ 是开浸入，$T = \bar{X} \setminus X = \{0,\infty\}\times D_\lambda$ 在 $D_\lambda$ 上是拟有限的（每个纤维中只有两个点）。
\end{enumerate}

\subsubsection*{3. 向量丛和连接}
考虑由Bessel方程解的空间构成的向量丛 $V$：
\begin{itemize}
\item $V$ 是 $X$ 上的向量丛，其纤维 $V_z$ 由Bessel方程在点 $z$ 附近的解空间构成。
\item 联络 $\nabla$ 由微分方程 $D_\lambda = z^2 \partial_z^2 + z \partial_z + (\lambda z^2 - \nu^2)$ 定义。
\item 在 $z = 0$ 处，Bessel方程有正则奇点，这意味着解在这些点附近具有可控的奇异性。
\end{itemize}

\subsubsection*{4. 奇点分析}
Bessel方程 $z^2 w'' + z w' + (\lambda z^2 - \nu^2)w = 0$ 可以写成标准形式：
\[ w'' + \frac{1}{z}w' + \frac{\lambda z^2 - \nu^2}{z^2}w = 0 \]

\begin{itemize}
\item 当 $\lambda \neq 0$ 时，$p(z) = 1/z$ 和 $q(z) = (\lambda z^2-\nu^2)/z^2$，因此 $(z-0)p(z) = 1$ 和 $(z-0)^2q(z) = \lambda z^2 - \nu^2$ 都在 $z=0$ 处解析，所以 $z=0$ 是正则奇点。
\item 对于 $\lambda=0$，我们有 $zp(z) = 1$ 和 $z^2q(z) = - \nu^2$，它们都是解析的，所以 $z=0$ 仍然是正则奇点。
\end{itemize}

\subsubsection*{5. 命题1.24的应用}
命题1.24断言：如果对于所有 $\lambda \neq 0$，$V|_{f^{-1}(\lambda)}$ 在奇点处是正则的，那么 $V|_{f^{-1}(0)}$ 也具有类似的性质。

在Bessel方程的上下文中：
\begin{itemize}
\item 对于 $\lambda \neq 0$，Bessel方程的解在 $z=0$ 处具有正则奇点的性质，即：解具有 $z^\alpha$ 形式（多项式增长）的渐近行为。
\item 命题1.24保证了即使在参数变化的极限情况下（如 $\lambda \to \lambda_0$），奇点的正则性质仍然保持。
\item 这意味着Bessel方程的正则奇点性质在参数变化下是稳定的。
\end{itemize}

\subsubsection*{6. 几何意义}
在几何上，Bessel方程的这种性质表明：
\begin{itemize}
\item 微分方程的正则奇点性质在参数族中是开稠的性质。
\item 在代数D-模的框架下，这对应于正则holonomic D-模的平坦族的稳定性。
\item Bessel方程族的解空间在参数变化下保持其正则性结构。
\end{itemize}


%-----------------  EXAMPLE -----------------

\subsubsection*{7. 另一个例子:Gauss-Manin Connection}

A classic and fundamental example of a family of regular holonomic \(\mathcal{D}\)-modules arises from variations of Hodge structure or, more concretely, from the Gauss-Manin connection associated to a smooth proper morphism of complex algebraic varieties.

Example: The Gauss-Manin Connection

Let
\[
f : X \longrightarrow S
\]
be a smooth proper morphism of smooth complex algebraic varieties, with connected fibers of dimension \(n\). For instance, take:
\(S = \mathbb{A}^1 \setminus \{0\} = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[t, t^{-1}]\),
\(X \subset \mathbb{P}^{n+1} \times S\) defined by a family of smooth hypersurfaces, e.g.
\[
X_t = \{ x_0^{d} + x_1^{d} + \cdots + x_n^{d} + t x_{n+1}^{d} = 0 \} \subset \mathbb{P}^{n+1}
\]
for \(t \in S\).

Then the relative de Rham cohomology sheaves
\[
\mathcal{H}^k := R^k f_* \Omega^\bullet_{X/S}
\]
carry a natural integrable connection -- the Gauss-Manin connection:
\[
\nabla : \mathcal{H}^k \longrightarrow \mathcal{H}^k \otimes_{\mathcal{O}_S} \Omega^1_S.
\]

{\color{red}
This pair \((\mathcal{H}^k, \nabla)\) corresponds to a coherent \(\mathcal{D}_S\)-module \(\mathcal{M}^k\), defined as the sheaf \(\mathcal{H}^k\) equipped with the action of vector fields via \(\nabla\).
}

Properties:
Since \(f\) is smooth and proper, the Gauss-Manin connection has regular singularities (Deligne's theorem).

Each fiber \(\mathcal{M}^k _{s}\) (for \(s \in S\)) is a regular holonomic \(\mathcal{D}_{\{s\}}\)-module, i.e., a finite-dimensional vector space with trivial \(\mathcal{D}\)-action -- but more meaningfully, the whole module \(\mathcal{M}^k\) on \(S\) is regular holonomic.

The characteristic variety of \(\mathcal{M}^k\) is the zero section of \(T^*S\), so it is holonomic (dimension = \(\dim S\)).
Regularity follows from the fact that solutions (horizontal sections) are multivalued holomorphic functions with at worst logarithmic growth near missing points (e.g., \(t=0,\infty\)).

Thus, \(\mathcal{M}^k\) is a family of regular holonomic \(\mathcal{D}\)-modules parametrized by \(S\).


\subsubsection*{8. Simpler Explicit Example: Kummer D-module} 

On \(S = \mathbb{G}_m = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[t, t^{-1}]\), consider the \(\mathcal{D}_S\)-module
\[
\mathcal{M}_\alpha = \mathcal{D}_S / \mathcal{D}_S \cdot (t \partial_t - \alpha),
\]
for some \(\alpha \in \mathbb{C}\).
This is holonomic (cyclic module with one generator and one relation; characteristic variety is Lagrangian).
It is regular if and only if \(\alpha \in \mathbb{Q}\) (more precisely, if the local monodromy is quasi-unipotent; for \(\alpha \in \mathbb{C}\), regularity holds iff the solution \(t^\alpha\) has moderate growth, which requires \(\alpha \in \mathbb{R}\), but in algebraic \(\mathcal{D}\)-module theory, regularity is equivalent to being generated by solutions with moderate growth near singularities — and \(t^\alpha\) is moderate only when \(\alpha \in \mathbb{Q}\); actually, over \(\mathbb{C}\), all such rank-1 modules are regular because the only singularity is at 0 and ∞, and \(t^\alpha\) has regular singularities there for any \(\alpha\). In fact, all rank-1 integrable connections on \(\mathbb{G}_m\) with meromorphic extension to \(\mathbb{P}^1\) having only simple poles are regular — and \(t\partial_t - \alpha\) defines such a connection.)

So for any \(\alpha \in \mathbb{C}\), \(\mathcal{M}_\alpha\) is a regular holonomic \(\mathcal{D}_{\mathbb{G}_m}\)-module.

Now, consider the family over a base \(B = \mathbb{A}^1\) with coordinate \(\alpha\):
\[
\mathcal{N} = \mathcal{D}_{\mathbb{G}_m \times B} / \mathcal{D}_{\mathbb{G}_m \times B} \cdot (t \partial_t - \alpha).
\]
Then for each fixed \(\alpha_0 \in B\), the restriction \(\mathcal{N} _{\mathbb{G}_m \times \{\alpha_0\}} \cong \mathcal{M}_{\alpha_0}\) is a regular holonomic \(\mathcal{D}_{\mathbb{G}_m}\)-module.

Hence, \(\mathcal{N}\) is a family of regular holonomic \(\mathcal{D}\)-modules parametrized by \(\alpha \in \mathbb{A}^1\).

Summary

Two key examples:

1. Geometric: The Gauss–Manin \(\mathcal{D}\)-module \(R^k f_* \mathcal{O}_X\) with its connection, for \(f: X \to S\) smooth proper.
2. Explicit rank-1: The Kummer-type family \(\mathcal{D}/(t\partial_t - \alpha)\) over \(\mathbb{G}_m \times \mathbb{A}^1_\alpha\).

Both yield families where each fiber is a regular holonomic \(\mathcal{D}\)-module.
